Question

4．如圖，△OBC為等邊三角形，AD∥BC，AD=3，BC=7，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；
（2）求AB的長；
（3）若CE=3，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）由△OBC為等邊三角形，可得∠B=∠C，又由∠APE=∠B，利用三角形外角的性質，可證得∠BAP=∠EPC，即可證得：△APB∽△PEC；
（2）由△OBC為等邊三角形，AD∥BC，易得△OAD是等邊三角形，繼而求得AB的長；
（3）首先設BP=x，然后由△APB∽△PEC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答 （1）證明：∵△OBC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APE+∠CPE=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠CPE，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠B=60°，∠ODA=∠C=60°，
∴△OAD是等邊三角形，
∴OA=AD=3，
∵△OBC為等邊三角形，
∴OB=BC=7，
∴AB=OB-OA=4；

（3）解：設BP=x，則CP=BC-BP=7-x，
∵△APB∽△PEC，
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CE}$，
∴$\frac{4}{7-x}=\frac{x}{3}$，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴BP=3或4．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．注意利用方程思想求解是解此題的關鍵．