Question

【題目】如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且點D為的中點．

（1）若∠A＝70°，求∠DBE的度數；

（2）求證：AB＝AC；

（3）若⊙O的半徑為5cm，BC＝12cm，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）點D為的中點，則OD⊥BE，且BH＝HE，∠ODB＝∠OBD＝（180°﹣70°）＝55°，∠OBE＝90°﹣70°＝20°，即可求解；

（2）由（1）得：OD是△ABC的中位線，則OD＝AC＝AB，即可求解；

（3）△ABC為等腰三角形，則cosC＝＝cos∠ODB，則sin∠ODB＝，BE＝2BH＝2BDsin∠ODB，即可求解．

（1）連接OD交BE于點H，連接AD，

∵點D為的中點，則OD⊥BE，且BH＝HE，

AB為直徑，則∠AEB＝90°，∴OD∥AC，且OD是△ABC的中位線，

∵∠CAB＝70°，則∠DOB＝70°，∠ODB＝∠OBD＝（180°﹣70°）＝55°

∠OBE＝90°﹣70°＝20°，

則∠DBE＝∠OBD﹣∠OBE＝55°﹣20°＝35°；

（2）由（1）得：OD是△ABC的中位線，則OD＝AC＝AB，

故AB＝AC；

（3）△ABC為等腰三角形，則cosC＝＝cos∠ODB，則sin∠ODB＝，

BE＝2BH＝2BDsin∠ODB＝2×6×＝．