Question

【題目】如圖，△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交線段DE的延長線相交于F點，取AF的中點G，如果BC=2AB．

求證 ：（1）四邊形ABDF是菱形；

（2）AC=2DG．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先根據三角形的中位線定理，得DE∥AB，結合AF∥BC，根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判斷該四邊形是平行四邊形，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）根據菱形的性質可以進一步得到△FGD≌△FEA，則GD＝AE，即可證明結論．

證明：（1）∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線（三角形中位線的定義），

∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位線性質）．

∵AF∥BC，

∴四邊形ABDF是平行四邊形（平行四邊形定義）．

∵BC=2AB，BC=2BD，

∴AB=BD．

∴四邊形ABDF是菱形．

（2）∵四邊形ABDF是菱形，

∴AF=AB=DF（菱形的四條邊都相等）．

∵DE=AB，

∴EF=AF．

∵G是AF的中點．

∴GF=AF，

∴GF=EF．

∴△FGD≌△FEA，

∴GD=AE，

∵AC=2EC=2AE，

∴AC=2DG．