Question

【題目】如圖①，已知點E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，求證四邊形FFG是平行四邊形．根據以下思路可以證明四邊形EFGH是平行四邊形：

（1）根據上述思路，請你寫出完整的證明過程；

（2）如圖，已知，分別以AB、AC為邊，在BC同側作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BF．可通過證明△________≌△________，得到；

（3）如圖③，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足，，，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想四邊形EFGH的形狀，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）ADC，ABE；（3）四邊形EFGH為菱形，理由見解析

【解析】

（1）連接BD，根據三角形的中位線的性質得到∥，，由平行四邊形的判定定理即可得到結論；

（2）先利用等邊三角形的性質得AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，則∠DAC=∠BAE，于是根據證得，從而得到結論；

（3）連接AC、BD，如圖3，先證明△PBD≌△APC得到BD=AC，再利用三角形中位線性質得到HG=HE，接著根據（1）中結論和菱形的判定方法可判斷四邊形EFGH為菱形．

（1）∵點E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，

∴EH是的中位線，FG是的中位線，

∴∥，，∥，，

∴∥，，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）ADC，ABE；

理由是：

∵和都是等邊三角形，

∴，，，

∴，即，

在和中，

∴，

∴．

（3）四邊形EFGH為菱形

如圖，連接AC、BD，

∵，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∵，，，

∵由（1）中的結論可知，四邊形EFGH為平行四邊形，

∴四邊形EFCH為菱形．