Question

【題目】如圖1所示，在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸的負半軸、正半軸上，且AB＝AC，∠ACB＝30°，OD⊥AB于點D．

（1）求證：BD＝3AD；

（2）如圖2，點E在OD的延長線上，連接BE，在線段BE上取點F，連接CF分別交OE、AB于點G、H（點G、H、D互不重合），若FE＝FG，求證：∠EBA﹣∠BCF的度數為定值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EC，若C（4，0），A（0，4），求S△ECG．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）S△EGC＝12.

【解析】

（1）根據直角三角形中的正余弦定理，可得到BD與AD的長度關系.（2）根據三角形的內角和公式，可得∠EBA﹣∠BCF＝30°.（3）以B為圓心，BO長為半徑畫弧交ED于點M，連接BM，過點C作EO的垂線，交EO的延長線于點N，再根據全等三角形性質，可得S△EGC.

解：（1）∵AB＝AC，∠ACB＝30°，OD⊥AB

∴∠ABC＝30°，∠ODB＝90°，

∴∠BOD＝60°，

∴∠AOD＝30°，

∴AD＝OA，OA＝AB

∴OA＝2AD，AB＝2AO，

∴AB＝4AD，

∴BD＝3AD．

（2）∵FE＝FG，

∴設∠E＝∠EGF＝α，

∴∠OGC＝α，

∵∠DOB＝60°，

∴∠BCF＝60﹣α，

∵∠EDB＝90°，

∴∠EBA＝90°﹣α，

∴∠EBA﹣∠BCF＝30°，

∴∠EBA﹣∠BCF的度數為定值．

（3）如圖1所示，以B為圓心，BO長為半徑畫弧交ED于點M，連接BM，過點C作EO的垂線，交EO的延長線于點N，

∴BM＝OC，∠EMB＝∠GOC＝120°，

∵∠BEM＝∠OGC，

∴△EMB≌△GOC（AAS），

∴EM＝OG，

∴EG＝MO＝BO＝4，

∵∠CON＝60°，∠N＝90°，

∴∠OCN＝30°，

∴ON＝OC＝2，

∴CN＝6，

∴S△EGC＝EGCN＝4×6×＝12．