Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標，縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3，…An，…．將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經過點A1，A2，A3…An，…．則頂點M1的坐標為_____，頂點M2的坐標為_____，頂點M2018的坐標為_____．

Answer 1

【答案】（1，1）， （3，3）， （4035，4035）.

【解析】

根據拋物線的解析式結合整數點的定義，找出點An的坐標為（n，n2），設點Mn的坐標為（a，a），則以點Mn為頂點的拋物線解析式為y＝（xa）2＋a，由點An的坐標利用待定系數法，即可求出a值，將其代入點Mn的坐標即可得出結論．

解：∵拋物線y＝x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3，…，An，…，

∴點An的坐標為（n，n2）．

設點Mn的坐標為（a，a），則以點Mn為頂點的拋物線解析式為y＝（x﹣a）2+a，

∵點An（n，n2）在拋物線y＝（x﹣a）2+a上，

∴n2＝（n﹣a）2+a，解得：a＝2n﹣1或a＝0（舍去），

∴Mn的坐標為（2n﹣1，2n﹣1），

∴頂點M1的坐標為（1，1），頂點M2的坐標為（3，3），頂點M2018的坐標為（4035，4035），

故答案為：（1，1），（3，3），（4035，4035）．