Question

【題目】如圖，是半徑為的上的定點，動點從出發，以的速度沿圓周逆時針運動，當點回到地立即停止運動．

（1）如果，求點運動的時間；

（2）如果點是延長線上的一點，，那么當點運動的時間為時，判斷直線與的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或（2）直線與相切，理由見解析

【解析】

（1）當∠POA=90°時，點P運動的路程為⊙O周長的或，所以分兩種情況進行分析；
（2）直線BP與⊙O的位置關系是相切，根據已知可證得OP⊥BP，即直線BP與⊙O相切．

解：（1）當∠POA=90°時，根據弧長公式可知點P運動的路程為⊙O周長的或，設點P運動的時間為ts；
當點P運動的路程為⊙O周長的時，2πt=2π12，
解得t=3；
當點P運動的路程為⊙O周長的時，2πt=2π12，
解得t=9；
∴當∠POA=90°時，點P運動的時間為3s或9s．
（2）如圖，當點P運動的時間為2s時，直線BP與⊙O相切
理由如下：
當點P運動的時間為2s時，點P運動的路程為4πcm，
連接OP，PA；
∵半徑AO=12cm，
∴⊙O的周長為24πcm，
∴的長為⊙O周長的，
∴∠POA=60°；
∵OP=OA，
∴△OAP是等邊三角形，
∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；
∵AB=OA，
∴AP=AB，
∵∠OAP=∠APB+∠B，
∴∠APB=∠B=30°，
∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，
∴OP⊥BP，
∴直線BP與⊙O相切．