Question

【題目】（1）①如圖1，請用直尺（不帶刻度）和圓規作出的內接正三角形（按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）.

②若的內接正三角形邊長為6，求的半徑；

（2）如圖2，的半徑就是（1）中所求半徑的值.點在上，是的切線，點在射線上，且，點從點出發，以每秒1個單位的速度沿射線方向移動，點是上的點（不與點重合），是的切線.設點運動的時間為（秒），當為何值時，是直角三角形，請你求出滿足條件的所有值.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）.

【解析】

（1）①作半徑的垂直平分線與圓交于，再取，則即為正三角形；

②連接，設半徑為，利用勾股定理即可求得答案；

（2）分當，且點在點左側或右側，時四種情況討論，當時，在Rt中利用勾股定理求解即可；當且點在點左側或右側時，構造矩形和直角三角形，利用解直角三角形即可求解；當時，構造正方形和直角三角形即可求解.

（1）①等邊如圖所示；

②連接，如圖，設半徑為，

由作圖知：，⊥，

∴，

在中，

，即，

解得：；

（2）當時，連接，如圖，

∵QG是的切線，

∴，

∵，

∴三點共線，

又∵DF是的切線，

∴，

設點運動的時間為（秒），

∴，

在中，，，

∴，

在Rt中，，，，

∴，即，

解得：；

當，且點在點左側時，連接，過點G作GM⊥OD于M，如圖，

∵是的切線，

∴，

∴四邊形DFGM為矩形，

∴，

在Rt中，，，

∴，

∵，

∴，

∵QG是的切線，四邊形DFGM為矩形，

∴，

∴

在Rt中，，，

∴即

解得：；

當時，連接，如圖，

∵是的切線，QG是的切線，

∴，，

∴四邊形ODQG為正方形，

∴，

∴；

當，且點在點左側時，連接，過點O作ON⊥于N，如圖，

∵是的切線，

∴，

∴四邊形DFNO為矩形，

∴，

在Rt中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵QG是的切線，

，

∴，

∴，

∴，

∴；

綜上：當、、、時，是直角三角形.