Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線y=kx+t經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y =-x2+2x+3;(2)證明見解析；（3）滿足題意的點P存在，其坐標為（1， ）．

【解析】（1）解：由拋物線的頂點是M（1，4），

設解析式為y=a（x-1）2+4（a＜0）

又拋物線經過點N（2，3），

所以3=a（2-1）2+4，解得a=-1

所以所求拋物線的解析式為y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3

（2）證明：直線y=kx+t經過C(0,3)、M（1，4）兩點，

∴,即k=1，t=3，即：直線解析式為y=x+3…4分

求得A(-1，0),D(-3，0)，∴AD=2

∵C(0,3), N（2，3）

∴CN=2= AD，且CN∥AD

∴四邊形CDAN是平行四邊形．……………6分

（3）解：假設在x軸上方存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，設P（1，u）其中u＞0，

則PA是圓的半徑且PA2=u2+22過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．

由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

由PQ2=PA2得方程：=u2+22， ……………………………………8分

解得，舍去負值u=，符合題意的u=，…………9分

所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）．…