Question

【題目】如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm／s，點G的運動速度為1.5cm／s．當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設點E，F，G運動的時間為t（單位：s）．

（1）當t＝　 　 s時，四邊形EBFB'為正方形；

（2）若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實數t，使得點B'與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2.5．（2）或．（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）由題意得由BE=BF即可．

（2）分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF討論即可．

（3）用反證法證明，假設存在實數t，使得點B'與點O重合，求出此時AE和BF的值，與已知的速度得到的比值比較得出錯誤的結論．

試題

解：（1）∵AB＝10，BC＝12，∴．

由BE=BF得．

（2）由題意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t．

∵AB＝10，BC＝12，∴．

∵點F在BC上運動，∴，即．

①當△EBF∽△FCG時，，∴，解得．

②當△EBF∽△GCF時，，∴，化簡，得．

解得（不合題意，舍去）．

∵，∴或符合題意．

∴若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，則或．

（3）不存在，理由如下：

如圖，連接BD．

∵點O為矩形ABCD的對稱中心，∴點O為BD的中點．

假設存在實數t，使得點B'與點O重合，此時，EF是OB的垂直平分線，垂足為點H．

∵易知，,．

∴△EHB∽△BHF∽△BCD，

∴．∴ ．

∵點F的運動速度是點E的運動速度的3倍，但，

∴不存在實數t，使得點B'與點O重合．