Question

【題目】已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，連接CE．

（1）發現問題

如圖①，當點D在邊BC上時，

①請寫出BD和CE之間的數量關系為________，位置關系為________；

②線段CE+CD=________AC；

（2）嘗試探究

如圖②，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中AC、CE、CD之間存在的數量關系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）拓展延伸

如圖③，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，若BC=4，CE=2，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）①BD=CE，BD⊥CE；②；（2）成立，理由見解析；（3）6．

【解析】

試題分析：（1）證明：如圖1中，①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵AD=AE，∠DAE=90°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE；

②結論：CE+CE=AC．理由：由①得BD=CE，∴BC=AC，∵BC=BD+CD=CE+CD，∴CE+CD=AC；

（2）解：如圖2中，存在數量關系為：CE=AC+CD；

理由：由（1）同理可得在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴BD=BC+CD=AC+CD，∴CE=AC+CD；

（3）解：由（1）同理在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CD=BC+BD=BC+CE．∵BC=4，CE=2，∴CD=6．