Question

【題目】已知x＝﹣m和x＝m﹣2時，多項式ax2+bx+4a+1的值都相等，且m≠1，若當1＜x＜2時，存在x的值，使多項式ax2+bx+4a+1的值為3，則a的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

利用x=-m和x=m-2時，ax2+bx+4a+1的值相等求出a、b的關系．在1＜x＜2范圍內ax2+bx+4a+1的值在為3可等價于函數y=ax2+2ax+4a-2與x軸交點在1＜x＜2范圍內，利用二次函數圖象與性質看出x=1與x=2時，對應函數值的正負性，進而列出不等式求a的范圍．

∵x＝﹣m和x＝m﹣2時，ax2+bx+4a+1的值相等

∴a（﹣m）2+b（﹣m）+4a+1＝a（m﹣2）2+b（m﹣2）+4a+1

整理得：（4a﹣2b）（m﹣1）＝0

∵m≠1

∴4a﹣2b＝0，即b＝2a

∵當1＜x＜2時，存在x使得ax2+bx+4a+1＝3

∴a≠0

整理得：ax2+2ax+4a﹣2＝0

令y＝ax2+2ax+4a﹣2＝a（x+1）2+3a﹣2

即拋物線y＝a（x+1）2+3a﹣2與x軸的交點在1＜x＜2的范圍內

①當a＞0，如圖1，在對稱軸直線x＝﹣1右側y隨x增大而增大

∴x＝1時，y＝a+2a+4a﹣2＜0，解得：a＜

x＝2時，y＝4a+4a+4a﹣2＞0，解得：a＞

∴＜a＜

②當a＜0，如圖2，在對稱軸直線x＝﹣1右側y隨x增大而減小

∴x＝1時，y＝a+2a+4a﹣2＞0，解得：a＞

x＝2時，y＝4a+4a+4a﹣2＜0，解得：a＜

∴不等式組無解

故答案為：＜a＜．