Question

【題目】給定關于x的二次函數y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），

（1）當該二次函數與x軸只有一個公共點時，求k的值；

（2）當該二次函數與x軸有2個公共點時，設這兩個公共點為A、B，已知AB＝2，求k的值；

（3）由于k的變化，該二次函數的圖象性質也隨之變化，但也有不會變化的性質，某數學學習小組在探究時得出以下結論：

①與y軸的交點不變；②對稱軸不變；③一定經過兩個定點；

請判斷以上結論是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）1（3）①②③

【解析】

（1）由拋物線與x軸只有一個交點，可知△=0；

（2）由拋物線與x軸有兩個交點且AB=2，可知A、B坐標，代入解析式，可得k值；

（3）通過解析式求出對稱軸，與y軸交點，并根據系數的關系得出判斷．

（1）∵二次函數y＝kx2﹣4kx+3與x軸只有一個公共點，

∴關于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有兩個相等的實數根，

∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，

解得：k1＝0，k2＝，

k≠0，

∴k＝；

（2）∵AB＝2，拋物線對稱軸為x＝2，

∴A、B點坐標為（1，0），（3，0），

將（1，0）代入解析式，可得k＝1，

（3）①∵當x＝0時，y＝3，

∴二次函數圖象與y軸的交點為（0，3），①正確；

②∵拋物線的對稱軸為x＝2，

∴拋物線的對稱軸不變，②正確；

③二次函數y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，將其看成y關于k的一次函數，

令k的系數為0，即x2﹣4x＝0，

解得：x1＝0，x2＝4，

∴拋物線一定經過兩個定點（0，3）和（4，3），③正確．

綜上可知：正確的結論有①②③．