Question

5．已知：直線y=k+2與x軸、y軸分別相交于點D、C與雙曲線y=$\frac{4}{x}$相交于點A、B兩點，且滿足$\frac{AD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，過點B作BP⊥AB，交y軸于點P，求tan∠BPC的值．

Answer 1

分析 作AE∥OD，交y軸與E，根據直線的解析式求得OC=2，然后根據平行線分相等成比例定理求得EO=1，從而得出A的縱坐標為-1，代入反比例函數的解析式求得A的坐標，再根據待定系數法即可求得一次函數的解析式；由∠DCO=∠PCB，∠PBC=∠DOC=90°可知∠BPC=∠CDO，根據直線y=$\frac{3}{4}$x+2可求得與x軸、y軸的交點，從而求得OC、OD的長，求得tan∠BPC的值．

解答 解：作AE∥OD，交y軸與E，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{EO}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
由直線y=kx+2可知C（0，2），
∴OC=2，
∴EO=1，
∴A的縱坐標為-1，
代入y=$\frac{4}{x}$得，-1=$\frac{4}{x}$，解得x=-4，
∴A（-4，-1），
把A（-4，-1）代入y=kx+2得，-1=-4k+2，
解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直線為y=$\frac{3}{4}$x+2，
∵BP⊥AB，
∴∠PBC=90°，
∴∠BPC+∠PCB=90°
∵DO⊥CO，
∴∠DOC=90°，∠CDO+∠DCO=90°，
又∵∠DCO=∠PCB，
∴∠BPC=∠CDO，
∴tan∠BPC=tan∠CDO，
在y=$\frac{3}{4}$x+2中，令y=0，則x=$\frac{8}{3}$，
∴DO=$\frac{8}{3}$，
在Rt△DOC中，tan∠BPC=tan∠CDO=$\frac{OC}{DO}$=$\frac{2}{\frac{8}{3}}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，以及三角函數的有關知識，同學們要熟練掌握．