Question

如圖：矩形ABCD的頂點B、C在x軸的正半軸上，A、D在拋物線y=-

2

3

x²+

8

3

x上，矩形的頂點均為動點，且矩形在拋物線與x軸圍成的區域里．
（1）設A點的坐標為（x，y），試求矩形周長p關于變量x的函數表達式；
（2）是否存在這樣的矩形，它的周長為9，試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式令y=0，可求出拋物線與x軸兩交點的坐標，因為A點的坐標為（x，y），則B點坐標為（x，0），即OB=x，由拋物線的對稱性可知EC=x，則BC=4-2x，再根據矩形的面積公式可求出矩形周長p關于變量x的函數表達式；
（2）先假設符合條件的矩形存在，把9代入（1）所求的矩形周長公式，根據一元二次方程判別式的情況判斷出方程解的情況即可判斷P是否存在．

解答：解：（1）令-

2

3

x²+

8

3

x=0
得：x₁=0，x₂=4．
則拋物線與坐標軸兩交點的坐標為O（0，0）、E（4，0）
設OB=x，由拋物線的對稱性可知EC=x，則BC=4-2x．
P=2（4-2x+y）=2（4-2x-

2

3

x²+

8

3

x）
P=-

4

3

x²+

4

3

x+8

（2）不存在．
若存在周長為9的矩形ABCD，則-

4

3

x²+

4

3

x+8=9
①4x²-4x+3=0，△=16-48＜0
方程①無實數根，即不存在這樣的矩形．

點評：本題綜合考查了二次函數圖象上點的坐標特點及一元二次方程的解與△的關系，比較簡單．