Question

12．已知正方形ABCD和正方形OEFG的位置如圖所示，且它們的邊長均為2cm，OE、OG分別與對角線的一半OB、OC重合，則圖（1）中的重合面積是多少？若正方形OEFG繞點O順時針旋轉一個角度α，則得到如圖（2）所示圖形，則圖（2）中陰影部分的面積又是多少？請給予合理的解釋．

Answer 1

分析 圖1中的重合部分面積等于正方形面積的$\frac{1}{4}$，連接OC、OB，AB與OE交于點N，BC與OG交于點M，通過全等三角形證明這個重合部分的面積等于正方形面積的$\frac{1}{4}$．

解答 解：在圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}$×4=1，
在圖2中，連接OC、OB，AB與OE交于點N，BC與OG交于點M．
∵∠MON=∠BOC=90°，
∴∠NOB=∠COM，
在△COM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COM=∠BON}\\{OC=OB}\\{∠OCM=∠OBN}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△OBN，
∴S_△OCM=S_△OBN，
∴S_{四邊形OMBN}=S_△OBC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=1．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質，學會把求不規則圖形面積轉化為規則圖形面積，構造全等三角形是解決問題的關鍵．