Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：若上存在一點不與重合，使點關于直線的對稱點在上，則稱為的反射點．下圖為的反射點的示意圖．

（1）已知點的坐標為，的半徑為，

①在點，，中，的反射點是____________；

②點在直線上，若為的反射點，求點的橫坐標的取值范圍；

（2）的圓心在軸上，半徑為，軸上存在點是的反射點，直接寫出圓心的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，；②點的橫坐標的取值范圍是，或；（2）圓心的橫坐標的取值范圍是．

【解析】

（1）①連接MN,過原點O作MN的垂線，必與有交點，即可得出結論.

②直線與以原點為圓心，半徑為1和3的兩個圓的交點從左至右依次為，，，，過點作軸于點，分別求出點E,F,G,H的坐標，為的反射點，則

上存在一點T，使點P關于直線OT的對稱點在上，則,由，則，即可求出答案.

（2）根據反射點的定義求解即可.

解（1）①連接MN,過原點O作MN的垂線，必與有交點， 都是的反射點．

②設直線與以原點為圓心，半徑為1和3的兩個圓的交點從左至右依次為，，，，過點作軸于點，如圖．

可求得點的橫坐標為．

同理可求得點，，的橫坐標分別為，，．

點是的反射點，則上存在一點，使點關于直線的對稱點在上，則.

∵，∴．

反之，若，上存在點，使得，故線段的垂直平分線經過原點，且與相交．因此點是的反射點．

∴點的橫坐標的取值范圍是，或．

（2）圓心的橫坐標的取值范圍是．