Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ +bx+c與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，直線y=x+4經過A，C兩點，

（1）求拋物線的表達式；
（2）如果點P，Q在拋物線上（P點在對稱軸左邊），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐標；
（3）動點M在直線y=x+4上，且△ABC與△COM相似，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=4，即C（0，4），

當y=0時，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），

將A、C點坐標代入函數解析式，得

，

解得 ，

拋物線的表達式為y= ﹣x+4

（2）

解：PQ=2AO=8，

又PQ∥AO，即P、Q關于對稱軸x=﹣1對稱，

PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，

當x=﹣5時，y= ×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣ ，即P（﹣5，﹣ ）；

﹣1+4=3，即Q（3，﹣ ）；

P點坐標（﹣5，﹣ ），Q點坐標（3，﹣ ）

（3）

解：∠MCO=∠CAB=45°，

① 當△MCO∽△CAB時， = ，即 = ，

CM= ．

如圖1

，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH= CM= ，

當x=﹣ 時，y=﹣ +4= ，

∴M（﹣ ， ）；

當△OCM∽△CAB時， = ，即 = ，解得CM=3 ，

如圖2

，

過M作MH⊥y軸于H，MH=CH= CM=3，

當x=﹣3時，y=﹣3+4=1，

∴M（﹣3，1），

綜上所述：M點的坐標為（﹣ ， ），（﹣3，1）

【解析】（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、C點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；（2）根據平行于x軸的直線與拋物線的交點關于對稱軸對稱，可得P、Q關于直線x=﹣1對稱，根據PQ的長，可得P點的橫坐標，Q點的橫坐標，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；（3）根據兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得CM的長，根據等腰直角三角形的性質，可得MH的長，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．