Question

（2010•烏魯木齊）已知二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過O（0，0），M（1，1）和N（n，0）
（n≠0）三點．
（1）若該函數圖象頂點恰為M點，寫出此時n的值及y的最大值；
（2）當n=-2時，確定這個二次函數的解析式，并判斷此時y是否有最大值；
（3）由（1）、（2）可知，n的取值變化，會影響該函數圖象的開口方向．請求出n滿足什么條件時，y有最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）M點為頂點，則O、N關于x=1對稱，M點為最大值點，由此得出答案；
（2）由于拋物線的圖象經過原點，故c=0；將M、N兩點坐標代入y=ax²+bx聯立求解，并由解出的a值判斷是否有最大值；
（3）將M、N兩點坐標代入y=ax²+bx聯立得出含a、n的方程，由a＞0確定n滿足的條件．
解答：解：（1）由二次函數圖象的對稱性可知n=2；
y的最大值為1．

（2）由題意得：，
解這個方程組得：；
故這個二次函數的解析式為y=；
∵＞0，
∴y沒有最大值；

（3）由題意得：，
整理得：an²+（1-a）n=0，即n（an+1-a）=0；（8分）
∵n≠0，
∴an+1-a=0；
故（1-n）a=1，而n≠1；
若y有最小值，則需a＞0，∴1-n＞0，即n＜1；
∴n＜1且n≠0時，y有最小值．
點評：此題主要考查了拋物線的性質、二次函數圖象與系數的關系等重要知識點，難度適中．