Question

【題目】小明和同學們在學習圓的基本性質時發現了一個結論：如圖1，圓中，是圓中的兩條弦，于點，于點，若，則.

（1）請幫小明證明這個結論；

（2）請參考小明思考問題的方法解決問題，如圖2，在中，，為的內心，以為圓心，為半徑的圓與三邊分別相交于點、、、. 若，，求的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）40.

【解析】

（1）連接OA,OC，根據條件，結合勾股定理，即可證明結論.

（2）根據三角形內心的概念，和第（1）小題的結論，可知，然后，設，根據勾股定理，列出方程，求出，即可求得三角形的周長.

（1）連，如圖，

∵，

∴，

在中，，

在中，，

∵，

∴，∴；（也可其他方法）

（2）分別過點作三邊的垂線，垂足分別為點，連，如圖，

∵為的內心，

∴，

∴由1得：，

∴，

∵；，

∴，，

∴，

∴，

設，則，

∵，

∴，

∴，∴，

∴的周長