Question

【題目】如圖，為的直徑，且，為上一點，平分交于點，，，于，為半圓弧的中點，交于點.

（1）求的長；

（2）求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）連接EB，OC交于M，根據角平分線定義得到∠DAC=∠BAC，根據垂徑定理得到OC⊥BE，推出四邊形MCDE是矩形，根據勾股定理即可得到結論；
（2）過G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，設，由F為半圓弧AB的中點，得到∠AEF=∠BEF，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解：（1）連接EB，OC交于M，
∵AC平分∠DAB交⊙O于點E，
∴∠DAC=∠BAC，
∴ ，
∴，
∵AB為⊙O的直徑，
∴BE⊥AD，
∵AD⊥CD于D，
∴四邊形MCDE是矩形，
∵AE=6，AB=10，
∴ ；
（2）過G作GR⊥AD于R，GS⊥BE于S，設，
∵F為半圓弧AB的中點，
∴，
∴，

∵平分，

∴G點為的內接圓心，
∵，
即是： ，
∴，
∴在等腰直角中： ．