Question

16．如圖①，A、B、C、D四點共圓，過點C的切線CE∥BD，與AB的延長線交于點E．
（1）求證：∠BAC=∠CAD；
（2）如圖②，若AB為⊙O的直徑，AD=6，AB=10，求CE的長；
（3）在（2）的條件下，連接BC，求$\frac{CB}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結OC，如圖①，根據切線的性質得OC⊥CE，由于CE∥BD，則OC⊥BD，再根據垂徑定理得到$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，然后利用圓周角定理可得∠BAC=∠CAD；
（2）如圖②，連結OC交BD于E，由（1）得OC⊥BD，則BF=DF，根據圓周角定理得到∠D=90°，則利用勾股定理可計算出BD=8，所以BF=$\frac{1}{2}$BD=4，在Rt△OBF中計算出OF=3，再證明△OBF∽△OCE，然后利用相似比可計算出CE的長；
（3）先計算出CE=2，由于$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，則∠CDB=∠CAB，根據正切定義得到tan∠CBE=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，則tan∠CBE=$\frac{1}{2}$tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$，即得到$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 （1）證明：連結OC，如圖①，
∵CE為切線，
∴OC⊥CE，
∵CE∥BD，
∴OC⊥BD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠BAC=∠CAD；
（2）解：如圖②，連結OC交BD于F，
由（1）得OC⊥BD，則BF=DF，
∵AB為直徑，
∴∠D=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD=4，
在Rt△OBF中，OF=3，
∵BF∥CE，
∴△OBF∽△OCE，
∴BF：EC=OF：OC，即4：CE=3：5，
∴CE=$\frac{20}{3}$；
（3）解：∵OF=3，OC=5，
∴CF=5-3=2，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠CBD=∠CAB，
∵tan∠CBF=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠CAB=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．