Question

【題目】如圖：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分線，點O在AB上，⊙O經過B，D兩點，交BC于點E。

（1）試說明：AC是⊙O的切線；

（2）若BC＝6，tan∠A＝，求⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為 .

【解析】

（1）連接DO，由等腰三角形的性質和角平分線的定義得出∠ODB＝∠CBD，證出DO∥BC，由平行線的性質得出OD⊥AC，即可得出結論；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據三角函數的定義得到AC＝8，AB=10，根據相似三角形的性質即可求出R＝．

解：（1）如圖，連接OD，

∵⊙O經過B，D兩點，

∴OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

又∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴∠ODB＝∠CBD，

∴OD∥BC，

∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴OD⊥AC．又OD是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線；

（2）設圓O半徑為R，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∵BC＝6，tan∠A＝，

∴AC＝8，AB=10,

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC，

∴，即，

解得：R＝，

∴⊙O的半徑為.