Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）24

【解析】

（1）可先證得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可證得四邊形ADCF為平行四邊形，再利用直角三角形的性質可求得AD=CD，可證得結論；
（2）將菱形ADCF的面積轉換成△ABC的面積，再用S△ABC的面積=ABAC，結合條件可求得答案．

（1）證明：∵E是AD的中點

∴AE＝DE

∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DBE

在△AEF和△DEB中

∴△AEF≌△DEB（AAS）

∴AF＝DB

∵D是BC的中點

∴BD=CD=AF

∴四邊形ADCF是平行四邊形

∵∠BAC＝90°，

∴AD＝CD＝BC

∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：設AF到CD的距離為h，

∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8

∴S菱形ADCF＝CDh＝BCh＝S△ABC＝ABAC＝．