Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+4x+5與y軸交于點A，與x軸的正半軸交于點C.

(1)求直線AC解析式；

(2)過點A作AD平行于x軸，交拋物線于點D，點F為拋物線上的一點(點F在AD上方)，作EF平行于y軸交AC于點E，當四邊形AFDE的面積最大時？求點F的坐標，并求出最大面積；

(3)若動點P先從(2)中的點F出發沿適當的路徑運動到拋物線對稱軸上點M處，再沿垂直于y軸的方向運動到y軸上的點N處，然后沿適當的路徑運動到點C停止，當動點P的運動路徑最短時，求點N的坐標，并求最短路徑長.

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x+5；(2)點F(，)；四邊形AFDE的面積的最大值為；(3)點N(0，)，點P的運動路徑最短距離＝2+.

【解析】

(1)先求出點A，點C坐標，用待定系數法可求解析式；

(2)先求出點D坐標，設點F(x，﹣x2+4x+5)，則點E坐標為(x，﹣x+5)，即可求EF＝﹣x2+5x，可求四邊形AFDE的面積，由二次函數的性質可求解；

(3)由動點P的運動路徑＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，則當點G，點M，點H三點共線時，動點P的運動路徑最小，由兩點距離公式可求解.

解：(1)∵拋物線y＝﹣x2+4x+5與y軸交于點A，與x軸的正半軸交于點C.

∴當x＝0時，y＝5，則點A(0，5)

當y＝0時，0＝﹣x2+4x+5，

∴x1＝5，x2＝﹣1，

∴點B(﹣1，0)，點 C(5，0)

設直線AC解析式為：y＝kx+b，

∴

解得：

∴直線AC解析式為：y＝﹣x+5，

(2)∵過點A作AD平行于x軸，

∴點D縱坐標為5，

∴5＝﹣x2+4x+5，

∴x1＝0，x2＝4，

∴點D(4，5)，

∴AD＝4

設點F(x，﹣x2+4x+5)，則點E坐標為(x，﹣x+5)

∴EF＝﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)＝﹣x2+5x，

∵四邊形AFDE的面積＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2(x﹣)2+

∴當x＝時，四邊形AFDE的面積的最大值為，

∴點F(，)；

(3)∵拋物線y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9，

∴對稱軸為x＝2，

∴MN＝2，

如圖，將點C向右平移2個單位到點H(7，0)，過點F作對稱軸x＝2的對稱點G(，)，連接GH，交直線x＝2于點M，

∵MN∥CH，MN＝CH＝2，

∴四邊形MNCH是平行四邊形，

∴NC＝MH，

∵動點P的運動路徑＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，

∴當點G，點M，點H三點共線時，動點P的運動路徑最小，

∴動點P的運動路徑最短距離＝2+＝2+，

設直線GH解析式為：y＝mx+n，

∴，

解得，

∴直線GH解析式為：y＝﹣x+，

當x＝2時，y＝，

∴點N(0，).