Question

19．如圖．四邊形ABCD中，AC⊥BD．AC=BD=BC．BE平分∠DBC．CE平分∠ACB．F為BC中點．連接EF．
（1）求∠BEC的度數；
（2）求證：AD=2EF．

Answer 1

分析 （1）由BE平分∠CBD、CE平分∠ACB知∠EBC=$\frac{1}{2}$∠HBC、∠ECB=$\frac{1}{2}$∠HCB，由∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB整理可得；
（2）延長EF至G、使FG=EF，則EG=2EF且四邊形BECG是平行四邊形，故BG=CE、∠EBG=∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=45°；延長CE交AB于K知∠BEK=45°，AC=BC，CE平分∠ACB得∠AEB=90°、AE=BE，同理∠CED=90°、CE=DE=BG，綜合以上條件可證△ADE≌△EGB，可得AD=EG=2EF．

解答 解：（1）如圖，

設AC、BD交于點H，
∵AC⊥BD，
∴∠BHC=90°，
∵BE平分∠CBD，CE平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠HBC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠HCB，
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB
=180°-$\frac{1}{2}$（∠HBC+∠HCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BHC）
=90°+$\frac{1}{2}$∠BHC
=135°；
（2）證明：
延長EF至G，使FG=EF，則EG=2EF，
∵BF=CF，FG=EF，
∴四邊形BECG是平行四邊形，
∴BG=CE，∠BCE=∠CBG，
∴∠EBG=∠CBG+∠CBE=∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=45°，
延長CE交AB于點K，則∠BEK=180°-∠BEC=45°，
∵AC=BC，CE平分∠ACB，
∴CK⊥AB，AK=BK，
∴∠AEB=90°，AE=BE，
同理，∠CED=90°，CE=DE=BG，
∴∠AED=360°-∠BEC-∠AEB-∠CED=45°=∠EBG，
在△ADE和△EGB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=EB}\\{∠AED=∠EGB}\\{DE=GB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△EGB（SAS），
∴AD=EG=2EF．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，通過添加輔助線來構建全等的三角形，并且結合題意尋找全等的條件是關鍵．