Question

9．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，若△BDE的周長是6，則AB=6，AC=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CD=DE，再判斷出△BDE是等腰直角三角形，設BE=x，然后根據△BDE的周長列方程求出x的值，再分別求解即可．

解答 解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，
∴CD=DE，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
設BE=x，則CD=DE=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∵△BDE的周長是6，
∴x+x+$\sqrt{2}$x=6，
解得x=6-3$\sqrt{2}$，
∴AC=BC=x+$\sqrt{2}$x=6-3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$（6-3$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=6．
故答案為：6；3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形周長的定義，等腰直角三角形的判定與性質，根據三角形的周長列出方程是解題的關鍵．