Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是3，P，Q分別在AB，BC的延長線上，BP=CQ，連接AQ，DP交于點O，并分別與CD，BC交于點F，E，連接AE．下列結論：

①AQ⊥DP

②OA2=OEOP

③S△AOD=S四邊形OECF

④當BP=1時，tan∠OAE=

其中正確結論的序號是　　　　．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

由四邊形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根據全等三角形的性質得到∠P＝∠Q，根據余角的性質得到AQ⊥DP；故①正確；根據相似三角形的性質得到AO2＝ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP；故②錯誤；根據全等三角形的性質得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF；故③正確；根據相似三角形的性質得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函數的定義即可得到結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP與△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ（SAS），

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q＋∠QAB＝90°，

∴∠P＋∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP；

故①正確；

∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO＋∠P＝∠ADO＋∠DAO＝90°，

∴∠DAO＝∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2＝ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②錯誤；

在△CQF與△BPE中

，

∴△CQF≌△BPE（AAS），

∴CF＝BE，

∴DF＝CE，

在△ADF與△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，

即S△AOD＝S四邊形OECF；故③正確；

∵BP＝1，AB＝3，

∴AP＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE＝，

∴QE＝，

∵△QOE∽△PAD，

∴，

∴QO＝，OE＝，

∴AO＝5－QO＝，

∴tan∠OAE＝，故④正確，

故答案為：①③④．