Question

20．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（6，4），E為AB的中點，過點D（8，0）和點E的直線分別與BC、y軸交于點F、G．
（1）求直線DE的函數關系式；
（2）函數y=mx-2的圖象經過點F且與x軸交于點H，求出點F的坐標和m值；
（3）點P在y軸上運動，求使△PHF周長最小時的點P的坐標及此時△PHF的周長．

Answer 1

分析 （1）由頂點B的坐標為（6，4），E為AB的中點，可求得點E的坐標，又由過點D（8，0），利用待定系數法即可求得直線DE的函數關系式；
（2）由（1）可求得點F的坐標，又由函數y=mx-2的圖象經過點F，利用待定系數法即可求得m值；

解答 解：（1）設直線DE的解析式為：y=kx+b，
∵頂點B的坐標為（6，4），E為AB的中點，
∴點E的坐標為：（6，2），
∵D（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{bk+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線DE的函數關系式為：y=-x+8；
（2）∵點F的縱坐標為4，且點F在直線DE上，
∴-x+8=4，
解得：x=4，
∴點F的坐標為（4，4）；
∵函數y=mx-2的圖象經過點F，
∴4m-2=4，
解得：m=$\frac{3}{2}$；
（3）如圖：，
作H關于y軸的對稱點N，連接FN，FN與y軸的交點是P點．
當y=0時，$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x=$\frac{4}{3}$，即H（$\frac{4}{3}$，0），
H點關于y軸的對稱點是N（-$\frac{4}{3}$，0），
設FN的解析式為y=kx+b，將F，N點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{-\frac{4}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
FN的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+1，
當x=0時，y=1，即P（0，1）．
由勾股定理，得
FN=$\sqrt{（4+\frac{4}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，FH=$\sqrt{（4-\frac{4}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
C_△PHF最小=PF+PH+FH=FN+FH=$\frac{20}{3}$+$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

點評 此題考查了一次函數綜合題，利用待定系數法求一次函數的解析式，利用軸對稱的性質得出PH=PN是解題關鍵，又利用了線段的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．