Question

【題目】在平面直角坐標系中，若要把一條直線平移到某個位置，經常可通過方式一：上(下)平移，或者方式二：左(右)平移的其中一種達到目的．現有直線交軸于點，若把直線向右平移8個單位長度得到直線，直線交軸于點．

（1）求直線的解析式，并說明直線若按方式一是如何平移到直線的位置；

（2）若直線上的一點，點按方式一平移后在直線上的對應點記為點．

①若點在直線上，且，求點的坐標(用含的式子表示) ；

②當時，試證明直線必將四邊形的面積二等分．

Answer 1

【答案】（1），向上平移4個單位；（2）①點的坐標為；②證明見解析

【解析】

（1）根據直線平行k相等，可求直線的解析式，根據兩直線與x軸交點坐標可確定按方式一是如何平移到直線的；

（2）①根據B在直線上可得，由B的對應點為C，可得點C，且BC∥y軸，由中點坐標公式可得中點坐標，根據線段垂直平分線的性質得點P在BC的垂直平分線上，即點P的縱坐標和BC中點的縱坐村都是，設點P的橫坐標為，代入可得結論；

②證明四邊形ABCD是平行四邊形，連接BD、AC，交點記為點E，確定E，則過點E的直線把平行四邊形ABCD的面積二等分，再證明直線直線必過E點，可得結論．

解：(1)，

當時，，

∴直線與軸交點坐標為，

按方式二平移后的對應點為，且在直線上，

設直線的解析式為

∴，

∴直線的解析式為：，

，

∴直線若按方式一向上平移4個單位得到直線；

(2)①如圖1，∵點在直線上，

，

∴點，

由(1)得，點，且軸，

∴的中點坐標為，

∴點在的垂直平分線上，

又∵軸，

∴點的縱坐標為，

設點的橫坐標為，

，

∴點的坐標為；

②如圖2，根據題意得：，， ，

由平移可知，

∴四邊形是平行四邊形，

連接四邊形的對角線，交點記為點，則是的中點，

，

過點的直線把平行四邊形的面積二等分，

把代入中，得，

即當時，直線必過點，

直線必將四邊形的面積二等分．