Question

【題目】如圖1，一次函數y＝﹣x+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點D，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為C，其圖象過A、D兩點，并與x軸交于另一個點B（B點在A點左側），若；

（1）求此拋物線的解析式；

（2）連結AC、BD，問在x軸上是否存在一個動點Q，使A、C、Q三點構成的三角形與△ABD相似．如果存在，求出Q點坐標；如果不存在，請說明理由．

（3）如圖2，若點P是拋物線上一動點，且在直線AD下方，（點P不與點A、點D重合），過點P作y軸的平行線l與直線AD交于點M，點N在直線AD上，且滿足△MPN∽△ABD，求△MPN面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）見解析;（3）△MPN的面積的最大值為:．

【解析】

（1）利用一次函數解析式確定D（3，0）；A（3，0），則可判斷△OAD為等腰直角三角形，再計算出AB＝2得到B（1，0），然后利用待定系數確定拋物線解析式；

（2）作CH⊥x軸，如圖1，先利用二次函數的性質得到C（3，﹣1），再判斷△ACH為等腰直角三角形得到∠CAH＝45°，AC＝，則∠CAQ＝∠DAB，根據相似三角形的判定方法，當時，△AQC∽△ADB，即，當 時，△AQC∽△ABD，即，然后分別求出對應的AQ的值，從而得到對應的Q點的坐標；

（3）作PE⊥AD于E，如圖2，利用相似三角形的性質得到MN＝MP，設P（x，x2﹣4x+3），則M（x，﹣x+3），所以MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3），根據二次函數的性質，當x＝時，MP有最大值，則MN的最大值為，接著確定PE的最大值為，然后根據三角形面積公式計算出△MPN的面積的最大值．

解：（1）當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則D（3，0）；

當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝3，則A（3，0），

∵OD＝OA，

∴△OAD為等腰直角三角形，

∴AD＝3，

∵，

∴AB＝2，

∴B（1，0），

設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣3），

把D（0，3）代入得a（﹣1）（﹣3）＝3，解得a＝1，

∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；

（2）作CH⊥x軸，如圖1，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴C（2，﹣1）

∴AH＝CH＝1，

∴△ACH為等腰直角三角形，

∴∠CAH＝45°，AC＝，

∵△OAD為等腰直角三角形，

∴∠DAO＝45°，

∵∠CAQ＝∠DAB，

∴當時，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此時Q（0，0）；

當時，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此時Q（，0）；

綜上所述，Q點的坐標為（0，0）或（，0）；

（3）作PE⊥AD于E，如圖2，

∵△MPN∽△ABD，

∴，

∴MN＝MP，

設P（x，x2﹣4x+3），則M（x，﹣x+3），

∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，

當x＝時，MP有最大值，

∴MN的最大值為＝，

∵∠PME＝45°，

∴PE＝PM，

∴PE的最大值為×＝，

∴△MPN的面積的最大值為××＝ ．