Question

【題目】如圖，I是△ABC的內心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E．

(1)BE與IE相等嗎？請說明理由．

(2)連接BI，CI，CE，若∠BED=∠CED=60°，猜想四邊形BECI是何種特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)IE=BE，理由見解析；(2)四邊形BECI是菱形，證明見解析.

【解析】

（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據三角形的外角的性質、三角形的內心是三角形的角平分線的交點以及圓周角定理的推論即可證明；

（2）如圖2，由∠BED=∠CED=60°，可得∠ABC=∠ACB=60°，可得BE=CE，再由I是△ABC的內心，可得∠4=∠ICD，從而可得BI=IC，再由(1)證得IE=BE，可得BE=CE=BI=IC，繼而可得四邊形BECI是菱形．

(1)如圖1，連接BI，

∵I是△ABC的內心，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠BIE=∠1+∠3，

∠IBE=∠5+∠4，

而∠5=∠1=∠2，

∴∠BIE=∠IBE，

∴IE=BE．

(2)四邊形BECI是菱形，

如圖2，∵∠BED=∠CED=60°，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∴BE=CE，

∵I是△ABC的內心，

∴∠4=∠ABC=30°，∠ICD=∠30°，

∴∠4=∠ICD，

∴BI=IC，

由(1)證得IE=BE，

∴BE=CE=BI=IC，

∴四邊形BECI是菱形．