Question

【題目】如果二次函數的二次項系數為1，那么此二次函數可表示為y＝x2＋px＋q，我們稱[p，q]為此函數的特征數，如函數y＝x2＋2x＋3的特征數是[2，3]．

(1)若一個函數的特征數為[－2，1]，求此函數圖象的頂點坐標；

(2)探究下列問題：

①若一個函數的特征數為[4，－1]，將此函數的圖象先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，求得到的圖象對應的函數的特征數；

②若一個函數的特征數為[2，3]，問此函數的圖象經過怎樣的平移，才能使得到的圖象對應的函數的特征數為[3，4]?

Answer 1

【答案】(1) (1，0)；(2) ① [2，－3]，②見解析

【解析】試題分析：首先根據函數的特征數可以確定函數表達式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，所以可得出頂點坐標為：（1,0）；先根據函數的特征數寫出函數的表達式，將表達式寫成頂點式，然后再平移，平移時規律為左加右減，上加下減。求出平移后的函數表達式是頂點式，將頂點式化成y＝x2＋px＋q的形式，即可求得特征數；如果已知兩個函數的特征數，要想知道兩個函數怎么平移得到的，需先將兩個函數都轉化成頂點式，再根據兩個函數頂點式判斷平移方法。

解：(1)由題意，得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.

∴特征數為[－2，1]的函數圖象的頂點坐標為(1，0)．

(2)①特征數為[4，－1]的函數表達式為y＝x2＋4x－1

即y＝(x＋2)2－5.

∵函數圖象先向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，

∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3.

∴特征數為[2，－3]．

②特征數為[2，3]的函數表達式為y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，

特征數為[3，4]的函數表達式為y＝x2＋3x＋4，即

y＝(x＋)2＋，

∴所求平移為：先向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度(或先向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度)．