Question

【題目】定義：對于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝x2﹣x+1是黃金拋物線

（1）請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式；

（2）將黃金拋物線y＝x2﹣x+1沿對稱軸向下平移3個單位

①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；

②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側），與y軸交于C，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

③當直線BC下方的拋物線上動點P運動到什么位置時，四邊形 OBPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形OBPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P點的坐標為（，﹣1）；當x＝1時，最大值是3，P（1，﹣2）

【解析】

（1）直接根據黃金拋物線的定義寫一個解析式即可；

（2）①根據平移的知識直接寫出新拋物線的解析式；

②設P點坐標為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E，若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO，連結PP′則PE⊥CO于E，P點的橫坐標為﹣1，進而解方程求出x的值；

③過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x2﹣x﹣2），先求出BC的直線解析式，進而設Q點的坐標為（x，x﹣2），根據S四邊形OBPC=S△OBC+S△BPQ+S△CPQ列出x的二次函數解析式，根據二次函數的性質求出滿足條件的P點坐標以及面積最大值．

解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；

（2）①：y＝x2﹣x﹣2；

②存在點P，如圖1，使四邊形POP′C為菱形．

設P點坐標為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO．

連結PP′則PE⊥CO于E，

∴OE＝EC＝1，

∴y＝﹣1，

∴x2﹣x﹣2＝﹣1

解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去）

∴P點的坐標為（，﹣1）；

③過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，如圖2

設P（x，x2﹣x﹣2），

易得，直線BC的解析式：y＝x﹣2

則Q點的坐標為（x，x﹣2）．

S四邊形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ

＝OBOC+QPOF+QPFB＝

＝﹣（x﹣1）2+3，

當x＝1時，四邊形OBPC的面積最大

此時P點的坐標為（1，﹣2），

四邊形OBPC的面積最大值是3．