Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于兩點,與軸交于點.點在函數圖象上，軸，且，直線是拋物線的對稱軸，是拋物線的頂點.

(1)求的值;

(2)如圖①，連接， 線段上的點關于直線的對稱點F'恰好在線段BE上，求點的坐標;

(3)如圖②,動點在線段上，過點作軸的垂線分別與交于點，與拋物線交于點.試問:直線右側的拋物線上是否存在點,使得與的面積相等，且線段的長度最小?如果存在，求出點的坐標;如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得的值；由，可用表示出點坐標，代入拋物線解析式可求得的值；

（2）可設，則可表示出的坐標，由、的坐標可求得直線的解析式，把坐標代入直線解析式可得到關于t的方程，可求得點的坐標；

（3）設點坐標為，可表示出、、的長，作，垂足為，則可求得的長，用可表示出、、的坐標，在中，由勾股定理可得到關于的二次函數，利用二次函數的性質可知其取得最小值時的值，則可求得點的坐標，

解：（1）且軸，

拋物線的對稱軸為直線

即，

，

，

代入：，

解得 (舍去），

.

（2）由（1）可知

則

由待定系數法可得直線BE的解析式為：

設由，點關于直線的對稱點的坐標為

則有：

（3）存在點滿足題意．

設點坐標為，則，，．

作，垂足為，

△，

，

．

點在直線的右側時，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．

在中， ，

時，取最小值1．此時點的坐標為．

綜上可知存在滿足題意的點，其坐標為．