Question

【題目】已知點P，Q為平面直角坐標系xOy中不重合的兩點，以點P為圓心且經過點Q作⊙P，則稱點Q為⊙P的“關聯點”，⊙P為點Q的“關聯圓”．

（1）已知⊙O的半徑為1，在點E（1，1），F（﹣，），M（0，-1）中，⊙O的“關聯點”為______；

（2）若點P（2，0），點Q（3，n），⊙Q為點P的“關聯圓”，且⊙Q的半徑為，求n的值；

（3）已知點D（0，2），點H（m，2），⊙D是點H的“關聯圓”，直線y＝﹣x+4與x軸，y軸分別交于點A，B．若線段AB上存在⊙D的“關聯點”，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）F，M；（2）n＝2或﹣2；（3）≤m≤或 ≤m≤．

【解析】

（1）根據定義,認真審題即可解題,

（2）在直角三角形PHQ中勾股定理解題即可,

（3）當⊙D與線段AB相切于點T時，由sin∠OBA=,得DT＝DH1＝,進而求出m1=即可,②當⊙D過點A時，連接AD．由勾股定理得DA＝＝DH2＝即可解題.

解：（1）∵OF＝OM＝1，

∴點F、點M在⊙上，

∴F、M是⊙O的“關聯點”，

故答案為F，M．

（2）如圖1，過點Q作QH⊥x軸于H．

∵PH＝1，QH＝n，PQ＝.

∴由勾股定理得，PH2+QH2＝PQ2，

即12+n2=()2,

解得，n＝2或﹣2．

（3）由y＝﹣x+4，知A（3，0），B（0，4）

∴可得AB＝5

①如圖2（1），當⊙D與線段AB相切于點T時，連接DT．

則DT⊥AB，∠DTB＝90°

∵sin∠OBA=,

∴可得DT＝DH1＝,

∴m1=,

②如圖2（2），當⊙D過點A時，連接AD．

由勾股定理得DA＝＝DH2＝．

綜合①②可得：≤m≤或 ≤m≤．