Question

【題目】在平面直角坐標系中，的邊在軸上，點，線段，線段，且，與軸的交點為，連接．

（1）如圖1，在線段上有兩個動點（在上方），且，點為中點，點為線段上一動點，當的值最小時，求出的坐標及的面積．

（2）沿軸平移，當點平移到邊上時，平移后的，在軸上一動點，在平面直角坐標系內有一動點，使點形成的四邊形為菱形，若存在直接寫出點的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（，-3），的面積=2；（2）（12，-2）或（8，2）或（8+4，-2）

【解析】

（1）先根據直角三角形的性質求出OE=2，由勾股定理得BE=4，得出∠ABE=30°，∠EBC=90°，作點F關于EB的對稱點H，過H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，則KH=KF，HP的長即KF+KP 的最小值，此時的值最小，由（在上方），且可得出此時點G于點B重合，根據直角三角形的性質求出HP、HM、HK、MK、MG的長，即可解答本題；

（2）沿軸平移，當點平移到邊上時，平移后的中與B重合，分三種情況：①為對角線時，②為對角線時，③為對角線時，分別畫出圖形，利用菱形的性質，直角三角形的性質等知識一一求解即可．

解：（1）由題意得OA=2，則OB=6，

∵，

∴∠AEO=30°，OE=2，

Rt△OBE中，BE==4，

∴∠ABE=30°，

∵，，

∴∠ABC=180°-∠BAD =120°，∠C=60°，AD=BC=6

∴∠EBC=90°，EB⊥BC，

作點F關于EB的對稱點H，過H作HP⊥CD于P，交BE于K，交AB于M，則KH=KF，HP的長即KF+KP 的最小值，此時的值最小，

∵ HP⊥CD，∠C=60°

∴∠H=30°

∵點為中點，BC=6，點F關于EB的對稱點H，

∴HG=3，CH=9，

在Rt△CPH，Rt△HBK，Rt△HBM中，

HP=，，KH=2，BM=，HM=，

∴MP=HP-HM=3，OM=OB-BM=，MK=HK-HM=，

∴P的坐標（，-3）；

∵線段上有兩個動點（在上方），且，，

∴此時點G于點B重合，

∴的面積=AGKM=×8×=2；

胡答案為：P（，-3），的面積=2；

（2）①如圖，為對角線時，作NH⊥AB與H，由題意得A1B1=8，E1B1=4，∠B1A1E1=60°，∠A1B1E1=30°，E1A1=4，

∵菱形

∴∠A1B1N=60°，∠A1ME1=∠MA1E1=60°，

∴ME1= A1E1=B1N=4，

∴HB1=2，HN=2，

∴OH=OB1-HB1=12，

∴點的坐標（12，-2）；

②為對角線時，

∵菱形

∴∠E1B1N=60°，NE1=B1E1=4， HE1=HN=2，

∴HB1=6，

∴OH=OB1-HB1=8，

∴點的坐標（8，2）；

為對角線時，作NH⊥AB與H，

由題意得∠B1MN=30°，MN=B1E1=B1M=4，

∴HM=6，HN=2，

∴B1H=4-6，

∴OH=OB1+HB1=14+（4-6）=8+4，

∴點的坐標（8+4，-2）．

故點的坐標為：（12，-2）或（8，2）或（8+4，-2）．