Question

【題目】如圖，四邊形內接于，對角線為的直徑，過點作的垂線交的延長線于點，過點作的切線，交于點．

（1）求證：；

（2）填空：

①當的度數為 時，四邊形為正方形；

②若，，則四邊形的最大面積是 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②9．

【解析】

(1)根據已知條件得到CE是的切線．根據切線的性質得到DF=CF,由圓周角定理得到∠ADC=90°，于是得到結論;

(2)①連接OD,根據圓周角定理和正方形的判定定理即可得到結論;

②根據圓周角定理得到∠ADC=∠ABC=90°，根據勾股定理得到 根據三角形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：∵是的直徑，，

∴是的切線．

又∵是的切線，且交于點，

∴，

∴，

∵是的直徑，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴．

(2)解:①當∠ACD的度數為45°時，四邊形ODFC為正方形;

理由:連接OD,

∵AC為的直徑,

∴∠ADC=90°,

∵∠ACD=45° ,

∴∠DAC=45°,

∴∠DOC=90° ,

∴∠DOC=∠ODF=∠OCF=90°, ．

∵OD=OC,

∴四邊形ODFC為正方形;

故答案為：45°

②四邊形ABCD的最大面積是9 ,

理由: ∵AC為的直徑,

∴∠ADC=∠ABC=90°,

∵AD=4，DC=2 ,

∴,

∴要使四邊形ABCD的面積最大，則△ABC的面積最大,

∴當△ABC是等腰直角三角形時，△ABC的面積最大，

∴四邊形ABCD的最大面積：

故答案為：9