Question

【題目】（1）如圖①，圓的半徑為2，圓內有一點，，若弦過點，則弦長度的最大值為______；最小值為______；

（2）如圖②，將放在如圖所示的平面直角坐標系中，點與原點重合，點在軸的正半軸上，，，．在軸上方是否存在點，使得，且？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，是李叔叔家的一塊空地示意圖，其中，米，米．現在他利用周邊地的情況，把原來的三角形地拓展成符合條件的面積盡可能大、周長盡可能長的四邊形地，用來建魚塘．若李叔叔想建的魚塘是四邊形，且滿足，你認為李叔叔的想法能實現嗎？若能，求出這個四邊形魚塘面積和周長的最大值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）存在，坐標為，；（3）能，這個四邊形魚塘面積最大值為（）平方米，周長的最大值為340米．

【解析】

（1）當AB為直徑時，弦最長；當OP⊥AB時，AB最短，用垂徑定理求解即可；

（2）以為圓心，長為半徑作，過作軸的平行線交于，，點，即為所求的點；

（3）由題意得AB=100，∠ADB=60°，即點D在優弧上運動，當點D運動到優弧的中點時，四邊形魚塘面積和周長達到最大值，此時為等邊三角形，求出AD和DH長，即可得出這個四邊形魚塘面積和周長的最大值．

解：（1）當為直徑時，弦最長，AB=4，

如圖①，當時，最短，連接，

，，

，；

故答案為：4，；

（2）存在，理由如下：

如圖②，作于點，

，，，

，，

，，

以為圓心，長為半徑作，

過作軸的平行線交于，，

則，且，

點，符合題意，

點的坐標為，

存在點，坐標為，；

（3）能，理由如下：如圖③，

，米，米，

米．

作，使得，，以為圓心，長為半徑畫，

，

點在優弧上運動，

當點是優弧的中點時，四邊形面積和周長取得最大值，

連接并延長交于點，

則，，

，

，

為等邊三角形，

，

，

，

這個四邊形魚塘面積最大值為（平方米），

這個四邊形魚塘周長的最大值為（米）．