Question

如圖，一條拋物線經過原點和點C（8，0），A、B是該拋物線上的兩點，AB∥x軸，OA=5，AB=2．點E在線段OC上，作∠MEN=∠AOC，使∠MEN的一邊始終經過點A，另一邊交線段BC于點F，連接AF．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點F是BC的中點時，求點E的坐標；
（3）當△AEF是等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

（1）y＝－x²＋x；（2）（，0）；（3）（3，0）、（2，0）、（，0）.

解析試題分析：（1）根據題意可設該拋物線的解析式為：y=ax（x-8）（a≠0）．然后將點A或點B的坐標代入求值即可；
（2）由相似三角形△AOE∽△ECF的對應邊成比例求得線段OE的長度，則易求點E的坐標；
（3）需要分類討論：當AE=EF、AF=EF和AE=AF時，分別求得點E的坐標．
試題解析：（1）拋物線中，AB∥OC，由對稱性可知有等腰梯形AOCB.
而OA＝5，AB＝2，OC＝8
則A（3，4），B（5，4）
拋物線的解析式是y＝－x²＋x
（2）可以證明△AOE∽△ECF
則，不妨設E（x，0），其中0≤x≤8，
由，整理得x²－8x＋12.5＝0，解得
從而點E的坐標為（，0）
（3）由(2)中相似還可知AO:EC＝AE:EF，若△AEF為等腰三角形，則有三種可能.

①當EA＝EF時，有EC＝AO＝5，∴E（3，0）
②當AE＝AF時，作AH⊥EF于H，有AE:EF＝5:6
∴EC＝AO＝6，
∴E（2，0）
③當FA＝FE時，同理可得AE:EF＝6:5
∴EC＝AO＝，
∴E（，0）
綜上所述，符合要求的點E有三個.
考點:二次函數綜合題.