Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，FH．下列結論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若，則3S△EDH=13S△DHC，其中結論正確的序號有__．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根據題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS證明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
③同②證明△EHF≌△DHC即可；
④若 ，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，設HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．

①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG為等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，
∴EG=DF，故①正確；
②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，

，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；
③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；
④∵，
∴AE=2BE，
∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中， ，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD為等腰直角三角形，
過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：

設HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，
則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，

∴
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；
故答案為：①②③④