Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）如果∠BAC=60°，AD=4，求AC長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OD，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OA=OD，得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行可得AE與OD平行，再由DE⊥AC，可得DE⊥OD，即DE為圓O的切線，得證；

（2）作OH⊥AC于H，則AH=CH，由已知易得四邊形ODEH為矩形，從而有OH=DE=2，在Rt△OAH中， 即可求得AC的長．

試題解析：（1）連接OD，

∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，

∴∠1=∠2，

∵OA=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線；

（2）作OH⊥AC于H，則AH=CH，

∵∠BAC=60°，

∴∠2=30°，

在Rt△ADE中，DE=AD=2，

易得四邊形ODEH為矩形，

∴OH=DE=2，

在Rt△OAH中，∵∠OAH=60°，

∴AH==，

∴AC=2AH=．