Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上的一個動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．

（1）求證：OP=OQ ；

（2）若AD=8cm，AB=6cm，點P從點A出發，以 的速度向點D 運動（不與D重合）．設點P運動的時間為t秒，請用t表示PD的長；

（3）當t為何值時，四邊形PBQD是菱形？

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) PD=8t；(3)當t=時，四邊形PBQD是菱形.

【解析】

（1）由矩形ABCD中，O為BD的中點，易證得△PDO≌△QBO（ASA），繼而證得OP=OQ；

（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的長；

（3）由四邊形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB2+AP2=PD2，繼而可得方程62+t2=（8-t）2，解此方程即可求得答案

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，

∵O為BD的中點，

∴DO=BO，

在△PDO和△QBO中，

∴△PDO≌△QBO(ASA)，

∴OP=OQ；

(2)由題意知：AD=8cm，AP=tcm，

∴PD=8t，

(3) ∵DO=BO，OP=OQ，

∴四邊形PBQD是平行四邊形，

∵PB=PD，

∴PB2=PD2，

即AB2+AP2=PD2，

∴62+t2=(8t)2，

解得t=，

∴當t=時，PB=PD，四邊形PBQD是菱形.