Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不與M、C重合），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線，交AD于點F，切點為E．

（1）求證：OF∥BE；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC、FP交于點G，連接OE并延長交直線DC于H（圖2），問是否存在點P，使△EFO∽△EHG（E、F、O與E、H、G為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OE

FE、FA是⊙O的兩條切線

∴∠FAO=∠FEO=90°

在Rt△OAF和Rt△OEF中，

∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL），

∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE，

∴∠AOF=∠ABE，

∴OF∥BE

（2）

解：過F作FQ⊥BC于Q

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

∵在Rt△PFQ中

∴FQ2+QP2=PF2

∴22+（x﹣y）2=（x+y）2

化簡得： ，（1＜x＜2）

（3）

解：存在這樣的P點，

理由：∵∠EOF=∠AOF，

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，

當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，

即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，

此時Rt△AFO中，

y=AF=OAtan30°= ，

∴

∴當 時，△EFO∽△EHG

【解析】（1）首先證明Rt△FAO≌Rt△FEO進而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案；（2）過F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y與x之間的函數關系，根據M是BC中點以及BC=2，即可得出BP的取值范圍；（3）首先得出當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OAtan30°= ，即可得出答案．