Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于點O，D在⊙O上，連接BD、CD，延長CD與AB的延長線交于E，F在BE上，且FD=FE．

（1）求證：FD是⊙O的切線；

（2）若AF=10，tan∠BDF=，求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、2.5

【解析】

試題分析：(1)、連結OD，如圖，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根據等腰三角形的性質由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據切線的判定定理得到FD是⊙O的切線；(2)、連結AD，如圖，利用圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根據相似的性質得=，再在Rt△ABD中，根據正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可計算出DF=2.5，從而得到EF=2.5．

試題解析：(1)、連結OD，如圖， ∵CO⊥AB， ∴∠E+∠C=90°， ∵FE=FD，OD=OC，

∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC， ∴∠FDE+∠ODC=90°， ∴∠ODF=90°， ∴OD⊥DF， ∴FD是⊙O的切線；

(2)、連結AD，如圖， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB， ∴∠A+∠ODB=90°， ∵∠BDF+∠ODB=90°， ∴∠A=∠BDF， 而∠DFB=∠AFD，

∴△FBD∽△FDA， ∴=， 在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF==， ∴=，

∴DF=2.5， ∴EF=2.5．