Question

9．（1）如圖，六邊形ABCDEF滿足：AB$\stackrel{∥}{=}$EF，AF$\stackrel{∥}{=}$CD．僅用無刻度的直尺畫出一條直線l，使得直線l能將六邊形ABCDEF的面積給平分；
（2）假設你所畫的這條直線l與六邊形ABCDEF的AF邊與CD邊（或所在的直線）分別交于點G與點H，
則下列結論：
①直線l還能平分六邊形ABCDEF的周長；
②點G與點H恰為AF邊與CD邊中點；
③AG=CH，FG=DH；
④AG=DH，FG=CH．
其中，正確命題的序號為③．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形是中心對稱圖形，找到對稱中心O₁、O₂，經過O₁、O₂直線就是所求的直線l．
（2）連接BE交直線l于點K，由△AGO₁≌△EKO₁得AH=KE，同理KE=CH，由此不難判斷結論．

解答 解：（1）直線l如圖1所示．


（2）如圖2連接BE交直線l于點K．
∵AB∥EF，AB=EF，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AO₁=O₁E，BO₂=O₂D，AF∥BE，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴BE∥CD，BE=CD，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∵∠O₁AG=∠O₁EK，∠O₁GA=∠O₁KE，AO₁=O₁E
∴△AGO₁≌△EKO₁，
∴AG=EK，同理EK=CH，
∴AG=CH，GF=HD，故③正確，④錯誤，
∵AG≠GF，CH≠HD，
∴AG+AB+BC+CH≠GF+EF+DE+DH，
故①②錯誤．
故答案為③．

點評 本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質，利用平行四邊形是中心對稱圖形找到對稱中心是解題的關鍵．