Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B坐標為（8，6），對角線AC，BO交于點D，在邊OC上有一動點P，點Q是點P關于OB的對稱點，設OP＝t．

（1）當PQ過點D時，求點Q的坐標．

（2）用含t的代數式表示點Q的坐標．

（3）過點P作AC的垂線，交△ABC的邊于點R，當△PQR為直角三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點Q的坐標為（，6）；（2）；（3）t的值是或 或 ．

【解析】

根據題目描述，當PQ過點D時，點Q在AB上可以直接解答第一問;通過過Q作QH⊥x軸于H，交OB于E，設PQ交OB于F，進而證明△OFP∽△OCB可用含t的表達式來表示點Q坐標；根據第二問表達式直接分類討論第三問.

解：（1）如圖1，PQ過點D，連接OQ，

∵點Q是點P關于OB的對稱點，

∴DQ＝PD，OB⊥PQ，即Q在AB上，

∴OQ＝OP＝t，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OD＝BD，

∵PQ⊥OB，

∴OQ＝BQ＝t，

∴AQ＝8﹣t，

在Rt△AOQ中，OQ2＝AQ2+OA2，

∴t2＝62+（8﹣t）2，

t＝，

∴AQ＝8﹣＝，

∴點Q的坐標為（，6）；

（2）如圖2，過Q作QH⊥x軸于H，交OB于E，設PQ交OB于F，

∵∠FOP＝∠BOC，∠OFP＝∠OCB＝90°，

∴△OFP∽△OCB，

∴

∴，PF＝，

∴PQ＝2PF＝，

sin∠HQP＝＝sin∠BOC＝，

∴，PH＝，

cos∠HQP＝，QH＝，

∴Q（，）；

（3）分3種情況：

①當PR⊥AC于R時，過Q作QH⊥OC于H，

由（2）知：Q（，），

∴CH＝8﹣，QH＝，

∴tan∠ACO＝，

∴，t＝；

②當∠PRQ＝90°時，R在邊BC上，如圖4，延長CB，過Q作QF⊥CB于F，

∵PR⊥AC，PR⊥QR，

∴AC∥QR，

∴∠QRB＝∠ACB，

∴tan∠QRB＝tan∠ACB＝，

t＝；

③當∠PQR＝90°，R在AB上，如圖5，PR⊥AC于F，

∵PQ⊥OB，PQ⊥RQ，

∴EF∥RQ，

∴RF＝PF，

∵BR∥OP，

∴∠RBF＝∠FOP，

∵∠RFB＝∠OFP，

∴△RFB≌△PFO（AAS），

∴OF＝BF，

∵OD＝BD，

∴D與F重合，

Rt△PFC中，PC＝8﹣t，

cos∠ACO＝，

∴，t＝，

綜上，t的值是或或．