Question

【題目】我們規定，三角形任意兩邊的“廣益值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差．如圖1，在中，是邊上的中線，與的“廣益值”就等于的值，可記為

（1）在中，若，，求的值．

（2）如圖2，在中，，，求，的值．

（3）如圖3，在中，是邊上的中線，，，，求和的長．

Answer 1

【答案】(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.

【解析】

(1)在Rt中,根據勾股定理和新定義可得AO2-OC2=81=AC2;

(2)①先利用含30°的直角三角形的性質求出AO=2,OB=,再用新定義即可得出結論;

②先構造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定義即可得出結論;

(3)作BD⊥CD,構造直角三角形BCD,根據三角形面積關系求出BD,根據新定義和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根據中線性質得出OA的長度,根據勾股定理求出OC,從而得出BC,再根據勾股定理求出CD,再求出AD,再運用勾股定理求出AB.

(1)已知如圖:AO為BC上的中線,

在Rt中,

AO2-OC2=AC2

因為

所以AO2-OC2=81

所以AC2=81

所以AC=9.

(2)①如圖2,取BC的中點D,連接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,

在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,

在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,

∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,

②取AC的中點D,連接BD,∴AD=CD=AC=6,過點B作BE⊥AC交CA的延長線于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,

∵AB=12,∴AE=6,BE=,

∴DE=AD+AE=12,

在Rt△BED中,根據勾股定理得,BD=

∴BABC=BD2﹣CD2=216;

(3)作BD⊥CD,

因為,,

所以BD=2,

因為,是邊上的中線,

所以AO2-OC2=-64,

所以OC2-AO2=64,

由因為AC2=82=64,

所以OC2-AO2= AC2

所以∠OAC=90°

所以OA=

所以OC=

所以BC=2OC=2,

在Rt△BCD中,

CD=

所以AD=CD-AC=16-8=8

所以AB=