Question

19．如圖，點O是△ABC所在平面內一動點，將AB、OB、OC、AC中點D、E、F、G，依次連接，如此構成四邊形DEFG．
（1）當點O在△ABC內時，求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）當點O移動到△ABC外時，第（1）題中的結論是否成立？（畫出圖形，并說明理由；）
（3）若四邊形DEFG是矩形，則點O的位置應滿足什么條件？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）（2）根據三角形中位線定理和平行四邊形的判定即可得出結論．
（3）由矩形的性質得出DG⊥DE，由三角形中位線定理得出DE∥OA，DG∥BC，即可得出結論．．

解答 （1）證明：∵AB、OB、OC、AC中點分別為D、E、F、G，
∴DG、EF分別為△ABC和△OBC的中位線，
∴DG∥BC  EF∥BC DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF且DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
（2）解：成立，如圖1所示：
理由如下：
∵由（1）知，DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF且DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
（3）解：若四邊形DEFG是矩形，則點O滿足OA⊥BC．理由如下：
如圖2所示：
∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠EDG=90°，即DG⊥DE，
∵D、E分別是AB、OB的中點，
∴DE是△ABO的中位線，
∴DE∥OA，
由（2）得：DG∥BC，
∴OA⊥BC．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的性質；熟練掌握平行四邊形的判定方法，由三角形中位線定理得出DG∥EF且DG=EF是解決問題的關鍵．