Question

【題目】如圖1，拋物線交正半軸于點，將拋物線先向右平移3個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，與交于點，直線交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是拋物線上間的一點，作軸交拋物線于點，連接，．設點的橫坐標為，當為何值時，使的面積最大，并求出最大值；

（3）如圖2，將直線向下平移，交拋物線于點，，交拋物線于點，，則的值是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有最大值，最大值為6；（3）的值是定值1，見解析

【解析】

（1）先將拋物線化為頂點式，由平移規律“上加下減，左加右減”可直接寫出拋物線M2的解析式；

（2）分別求出點A，點B，點C的坐標，求出m的取值范圍，再用含m的代數式表示出△CPQ的面積，可用函數的思想求出其最大值；

（3）設直線OB向下平移k個單位長度得到直線EH，分別求出點E，F，G，H的橫坐標，分別過G，H作軸的平行線，過E，F作軸的平行線，構造相似三角形△GEM與△HFN，可通過相似三角形的性質求出的值為1.

解：（1），

將其先向右平移3個單位，再向上平移3個單位的解析式為：；

（2）拋物線與交于點，

，

解得：，

，

將點代入，

得：，

，

拋物線與直線交于點，

，

解得：，，

，

點的橫坐標為，

點，

則，

，

，

，

在中，當時，

，，

，

，

，

在中，

根據二次函數的圖象及性質可知，當時，有最大值，最大值為6；

（3）的值是定值1．理由如下：

設將直線向下平移個單位長度得到直線，

則，

令，

解得：，，

，，

令，

解得：，，

，，

，

，

分別過，作軸的平行線，過，作軸的平行線，交點分別為，，，

則，，

，

，

，

的值是定值1．